При вивченні цієї теми вирішують завдання з кінематики та динаміки пружних коливань. Корисно при цьому зіставлення пружних коливань з розглянутими коливаннями маятника для виявлення як їх загальних, так і специфічних характеристик.

Вирішення завдань вимагає застосування другого закону Ньютона, закону Гука та формул кінематики гармонійного коливального руху.

Період пружних гармонійних коливань тіла масою визначають за формулою (№ 758). Ця формула дозволяє визначити період різних гармонічних коливань, якщо відоме значення. Для пружних коливань це коефіцієнт жорсткості, а для коливань математичного маятника (№ 748).

У завданнях про перетворення енергії в коливальному русі переважно розглядають перетворення кінетичної енергії на потенційну. Але для випадку загасаючих коливань враховують також перетворення механічної енергії на внутрішню. Кінетична енергія пружних коливань

Потенціальна енергія

Чи відрізнятимуться і як коливання тіл різної маси на одній і тій же пружині? Відповідь перевірте на досвіді.

Відповідь. Тіло більшої маси матиме більший період коливань. З формули випливає, що при одній і тій же силі пружності тіло більшої маси матиме менше прискорення і, отже, рухатиметься повільніше. Це можна перевірити, приводячи в вагання підвішені на динамометрі вантажі різної маси.

757(е). На пружину підвісили вантаж і потім підтримували так, щоб пружина не розтягувалася. Опишіть, як рухатиметься вантаж, якщо прибрати опору, що його підтримує. Відповідь перевірте на досвіді.

Рішення, відпустимо вантаж вільно падати вниз. Тоді він розтягне пружину на величину, яку можна визначити із співвідношення

За законом збереження енергії при зворотному русі вгору вантаж піднімається на висоту, коливатиметься з амплітудою h. Якщо вантаж підвісити на пружині, він розтягне її на величину

Отже, положення, в якому висить вантаж у стані спокою, є центром, біля якого відбувається коливання. Цей висновок легко перевірити на «м'якій» довгій пружині, наприклад, від приладу «відерце Архімеда».

758. Тіло масою під дією пружини, що має жорсткість, здійснює без тертя коливання в горизонтальній площині вздовж стрижня а (рис. 238). Визначте період коливання тіла, використовуючи закон збереження енергії.

Рішення. У крайньому становищі вся енергія тіла потенційна, а середньому - кінетична. За законом збереження енергії

Для положення рівноваги Отже,

759(е). Визначте коефіцієнт жорсткості гумової нитки та розрахуйте період коливання підвішеною на ній гирі масою. Відповідь перевірте на досвіді.

Рішення. Для відповіді на воррос задачі учні повинен мати гумову нитку, вантаж масою 100 в, лінійку і секундомір

Підвісивши вантаж на нитку, спочатку розраховують величину чисельно рівну силі, що розтягує нитку на одиницю довжини. В одному з дослідів було отримано такі дані. Початкова довжина нитки см, кінцева Звідки див

Вимірявши по секундоміру час 10-20 повних коливань вантажу, переконуються, що період, знайдений розрахунками, збігається з отриманим досвідом.

760. Використовуючи розв'язання задач 757 та 758, визначте період коливань вагона на ресорах, якщо його статична осадка дорівнює

Рішення.

Отже,

Ми отримали цікаву формулу, за якою легко визначити період пружних коливань тіла, знаючи лише величину

761 (е). Використовуючи формулу, розрахуйте, а потім перевірте на досвіді період коливань на пружині від «відерця Архімеда» вантажів масою 100, 300, 400 г.

762. Користуючись формулою, отримайте формулу періоду коливань математичного маятника.

Рішення. Для математичного маятника тому

763. Використовуючи умову та розв'язання задачі 758, знайдіть закон, за яким змінюється сила пружності пружини, і запишіть рівняння даного гармонійного коливального руху, якщо в крайньому положенні тіло мало енергію

Рішення.

Приймемо, що Амплітуду коливань А визначимо із формули

Аналогічно підставивши значення маси, амплітуди та періоду у загальні формули зсуву, швидкості та прискорення, отримаємо:

Формулу прискорення можна було також отримати, користуючись формулою сили

764. Математичний маятник, що має масу та довжину відхилили на 5 см. Яку швидкість прискорення а і потенційну енергіювін буде мати на відстані див від положення рівноваги?

>> Перетворення енергії при гармонійних коливаннях

§24 ПЕРЕТВОРЕННЯ ЕНЕРГІЇ ПРИ ГАРМОНІЧНИХ КОЛИВАННЯХ

Розглянемо перетворення енергії при гармонійних коливаннях двох випадках: у системі немає тертя; у системі є тертя.

Перетворення енергії у системах без тертя.Зміщуючи кульку, прикріплену до пружини (див. рис. 3.3), праворуч на відстань х m , ми повідомляємо коливальній системі потенційну енергію:

При русі кульки вліво деформація пружини стає меншою, і потенційна енергія системи зменшується. Але одночасно збільшується швидкість і, отже, зростає кінетична енергія. У момент проходження кулькою положення рівноваги потенційна енергія коливальної системи стає рівною нулю (W n = 0 за х = 0). Кінетична енергія досягає максимуму.

Після проходження положення рівноваги швидкість кульки починає зменшуватися. Отже, зменшується і кінетична енергія. Потенційна енергія системи знову збільшується. У крайній лівій точці вона досягає максимуму, а кінетична енергія дорівнює нулю. Таким чином, при коливаннях періодично відбувається перехід потенційної енергії в кінетичну та назад. Неважко простежити за тим, що такі ж перетворення механічної енергії з одного її виду на інший відбуваються і у разі математичного маятника.

Повна механічна енергія при коливаннях тіла, прикріпленого до пружини, дорівнює сумі кінетичної та потенційної енергій коливальної системи:

Кінетична та потенційна енергії періодично змінюються. Але повна механічна енергія ізольованої системи, у якій відсутні сили опору, зберігається (згідно із законом збереження механічної енергії) незмінною. Вона дорівнює або потенційної енергії в момент максимального відхилення від положення рівноваги, або кінетичної енергії в момент, коли тіло проходить положення рівноваги:

Енергія тіла, що коливається, прямо пропорційна квадрату амплітуди коливань координати або квадрату амплітуди коливань швидкості (див. формулу (3.26)).

Загасні коливання.Вільні коливання вантажу, прикріпленого до пружини, або маятника, є гармонічними лише в тому випадку, коли немає тертя. Але сили тертя, чи, точніше, сили опору довкілля, Хоча, можливо, і малі, завжди діють на тіло, що вагається.

Сили опору здійснюють негативну роботу і цим зменшують механічну енергію системи. Тому з часом максимальні відхилення тіла від положення рівноваги стають дедалі меншими. Зрештою, коли запас механічної енергії виявиться вичерпаним, коливання припиняться зовсім. Коливання за наявності сил опору є загасаючими.

Графік залежності координати тіла від часу при загасаючих коливаннях зображено малюнку 3.10. Подібний графік може викреслити саме тіло, що коливається, наприклад маятник .

На малюнку 3.11 зображено маятник із пісочницею. Маятник на аркуші картону, що рівномірно рухається під ним, цівкою піску викреслює графік залежності своєї координати від часу. Це простий метод тимчасової розгортки коливань, що дає досить повне уявлення про процес коливального руху. При невеликому опорі загасання коливань протягом кількох періодів мало. Якщо ж до ниток підвісу прикріпити лист щільного паперу для збільшення сили опору, його згасання стане значним.

В автомобілях застосовуються спеціальні для гасіння коливань кузова при їзді нерівною дорогою. При коливаннях кузова пов'язаний із ним поршень рухається у циліндрі, заповненому рідиною. Рідина перетікає через отвори в поршні, що призводить до появи великих сил опору та швидкого загасання коливань.

Енергія тіла, що коливається, при відсутності сил тертя зберігається незмінною.

Якщо тіла системи діють сили опору, то коливання є загасаючими.

Зміст уроку конспект урокуопорний каркас презентація уроку акселеративні методи інтерактивні технології Практика завдання та вправи самоперевірка практикуми, тренінги, кейси, квести домашні завдання дискусійні питання риторичні питання від учнів Ілюстрації аудіо-, відеокліпи та мультимедіафотографії, картинки графіки, таблиці, схеми гумор, анекдоти, приколи, комікси притчі, приказки, кросворди, цитати Доповнення рефератистатті фішки для допитливих шпаргалки підручники основні та додаткові словник термінів інші Вдосконалення підручників та уроківвиправлення помилок у підручникуоновлення фрагмента у підручнику елементи новаторства на уроці заміна застарілих знань новими Тільки для вчителів ідеальні уроки календарний планна рік методичні рекомендації програми обговорення Інтегровані уроки

Механічними коливаннями називають рухи тіла, що повторюються точно або приблизно через однакові проміжки часу. Основними характеристиками механічних коливань є: усунення, амплітуда, частота, період. Зміщення – це відхилення тіла від положення рівноваги. Амплітуда – модуль максимального відхилення від положення рівноваги. Частота - кількість повних коливань, що здійснюються в одиницю часу. Період - час одного повного коливання, тобто мінімальний проміжок часу, через який відбувається повторення процесу. Період та частота пов'язані співвідношенням: v = 1/Т. Найпростіший вид коливального руху - гармонійні коливання, при яких величина, що коливається, змінюється з часом за законом синуса або косинуса (рис. 9). Вільними називають коливання, які здійснюються за рахунок спочатку повідомленої енергії за наступної відсутності зовнішніх впливів на систему, що робить коливання. Наприклад, коливання вантажу на нитки (рис. 10). Розглянемо процес перетворення енергії з прикладу коливань вантажу на нитки (див. рис. 10). При відхиленні маятника від положення рівноваги він піднімається на висоту h щодо нульового рівня, отже, у точці А маятник
має потенційну енергію mgh. При русі до положення рівноваги, до точки, зменшується висота до нуля, а швидкість вантажу збільшується, і в точці Про вся потенційна енергія mgh перетвориться на кінетичну енергію mv^2/2. У положенні рівноваги кінетична енергія має максимальне значення, а потенційна енергія мінімальна. Після проходження положення рівноваги відбувається перетворення кінетичної енергії на потенційну, швидкість маятника зменшується і при максимальному відхиленні від положення рівноваги стає рівною нулю. При коливальному русі завжди відбуваються періодичні перетворення його кінетичної та потенційної енергії.
При вільних механічних коливаннях неминуче відбувається втрата енергії подолання сил опору. Якщо коливання відбуваються під впливом періодичної зовнішньої сили, такі коливання називають змушеними. Наприклад, батьки розгойдують дитину на гойдалці, поршень рухається в циліндрі двигуна автомобіля, коливаються ніж електробритви та голка швейної машини. Характер вимушених коливань залежить від характеру дії зовнішньої сили, від її величини, напряму, частоти дії і не залежить від розмірів і властивостей тіла, що коливається. Наприклад, фундамент мотора, на якому він закріплений, здійснює вимушені коливання з частотою, що визначається лише кількістю оборотів двигуна, і не залежить від розмірів фундаменту.

При збігу частоти зовнішньої сили та частоти власних коливань тіла амплітуда вимушених коливань різко зростає. Таке явище називають механічним резонансом. Графічно залежність амплітуди вимушених коливань від частоти дії зовнішньої сили показано малюнку 11.
Явище резонансу може бути причиною руйнування машин, будівель, мостів, якщо їх власні частоти збігаються з частотою періодично діючої сили. Тому, наприклад, двигуни в автомобілях встановлюють на спеціальних амортизаторах, а військовим підрозділам під час руху мостом забороняється йти «в ногу».
За відсутності тертя амплітуда вимушених коливань при резонансі має зростати з часом необмежено. У реальних системах амплітуда в режимі резонансу визначається умовою втрат енергії протягом періоду і роботи зовнішньої сили за той же час. Чим менше тертя, тим більша амплітуда при резонансі.

При коливаннях математичного маятника повна енергія системи складається з кінетичної енергії матеріальної точки (кульки) та потенційної енергії матеріальної точки у полі сил тяжіння. При коливаннях пружинного маятника повна енергія складається з кінетичної енергії кульки та потенційної енергії пружної деформації пружини:

При проходженні положення рівноваги і в першому і другому маятнику кінетична енергія кульки досягає максимального значення, потенційна енергія системи дорівнює нулю. При коливання відбувається періодичне перетворення кінетичної енергії в потенційну енергію системи, повна енергія системи при цьому залишається незмінною, якщо відсутні сили опору (закон збереження механічної енергії). Наприклад, для пружинного маятника можна записати:

У коливальному контурі (рис.14.1.с) повна енергія системи складається з енергії зарядженого конденсатора (енергії електричного поля) та енергії котушки зі струмом (енергії магнітного поля. Коли заряд конденсатора максимальний, струм у котушці дорівнює нулю (див. формули 14.1). ), енергія електричного поля конденсатора максимальна, енергія електричного поля конденсатора дорівнює нулю, енергія магнітного поля котушки максимальних в коливальному контурі відбувається періодичне перетворення енергії електричного поля на енергію магнітного поля, повна енергія системи при цьому залишається незмінною, якщо відсутня активний опір R. Можна записати:

. (14.15)

Якщо в процесі коливань на математичний або на пружинний маятник діють зовнішні сили опору, а ланцюги коливального контуру є активний опір R, енергія коливань, отже, і амплітуда коливань зменшуватимуться. Такі коливання називаються загасаючими коливаннями , На рисунку 14.2 наведено графік залежності коливається величини Х від часу.

Рис. 14.3

§ 16. Змінний електричний струм.

З джерелами постійного струму ми вже знайомі, знаємо, чого вони потрібні, знаємо закони постійного струму. Але набагато більше практичного значення в нашому житті має змінний електричний струм, який використовується в побуті, на виробництві та інших галузях людської діяльності. Сила струму та напруга змінного струму (наприклад, в освітлювальній мережі нашої квартири) змінюються з часом за гармонічним законом. Частота промислового змінного струму – 50Гц. Джерела змінного струму різноманітні за своїм пристроєм та характеристиками. Дротову рамку, що обертається в постійному магнітному однорідному полі, можна розглядати як найпростішу модель генератора змінного струму. На рис.14.3 рамка обертається навколо вертикальної осі. ГО, перпендикулярною силовим лініям магнітного поля, з постійною кутовою швидкістю . Кут α між вектором і нормаллю змінюється за законом . S, обмежену рамкою, змінюється з часом, у рамці виникає ЕРС індукції.

Перетворення енергії за гармонійних коливань.

При коливаннях математичного маятника повна енергія системи складається з кінетичної енергії матеріальної точки (кульки) та потенційної енергії матеріальної точки в полі сил тяжіння. При коливаннях пружинного маятника повна енергія складається з кінетичної енергії кульки та потенційної енергії пружної деформації пружини:

При проходженні положення рівноваги і в першому і другому маятнику кінетична енергія кульки досягає максимального значення, потенційна енергія системи дорівнює нулю. При коливаннях відбувається періодичне перетворення кінетичної енергії на потенційну енергію системи, повна енергія системи при цьому залишається незмінною, якщо відсутні сили опору (закон збереження механічної енергії). Наприклад, для пружинного маятника можна записати:

У коливальному контурі (рис.14.1.с) повна енергія системи складається з енергії зарядженого конденсатора (енергії електричного поля) та енергії котушки зі струмом (енергії магнітного поля. Коли заряд конденсатора максимальний, струм у котушці дорівнює нулю (див. формули 14.1). ), енергія електричного поля конденсатора максимальна, енергія електричного поля конденсатора дорівнює нулю, енергія магнітного поля котушки максимальних в коливальному контурі відбувається періодичне перетворення енергії електричного поля на енергію магнітного поля, повна енергія системи при цьому залишається незмінною, якщо відсутня активний опір R. Можна записати:

. (14.15)

Якщо в процесі коливань на математичний або на пружинний маятник діють зовнішні сили опору, а в ланцюгу коливального контуру є активний опір R, енергія коливань, отже, і амплітуда коливань зменшуватимуться. Такі коливання називаються загасаючими коливаннями , На рисунку 14.2 наведено графік залежності коливається величини Х від часу.

Рис. 14.3

§ 16. Змінний електричний струм.

З джерелами постійного струму ми вже знайомі, знаємо, чого вони потрібні, знаємо закони постійного струму. Але набагато більше практичного значення в нашому житті має змінний електричний струм, який використовується в побуті, на виробництві та інших галузях людської діяльності. Сила струму та напруга змінного струму (наприклад, в освітлювальній мережі нашої квартири) змінюються з часом за гармонічним законом. Частота промислового змінного струму – 50Гц. Джерела змінного струму різноманітні за своїм пристроєм та характеристиками. Дротову рамку, що обертається в постійному магнітному однорідному полі, можна розглядати як найпростішу модель генератора змінного струму. На рис.14.3 рамка обертається навколо вертикальної осі. ГО, перпендикулярною силовим лініям магнітного поля, з постійною кутовою швидкістю . Кут α між вектором і нормаллю змінюється за законом . S, обмежену рамкою, змінюється з часом, у рамці виникає ЕРС індукції.